DOC Résumé sur la loi binomiale

Espérance et variance d'une loi binomiale

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ou une loi normale

On utilise principalement la loi binomiale dans la situation suivante :
on a une répétition de $n$ épreuves indépendantes pour lesquelles on a défini deux issues possibles (l'une appelée "Succès" et l'autre "Echec").
Une telle épreuve est appelée "épreuve de Bernoulli".

On note $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve.
Si la variable aléatoire X associe, à chaque répétition de

n

épreuves, le nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves, alors X suit la loi binomiale de paramètres

n

et

p

.

Cette loi est notée $ℬ$ $(n; p)$ .

Exemple :

5 % des pièces fabriquées par une machine sont défectueuses .
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 8 pièces prélevées avec remise, associe le nombre de pièces acceptables dans cet échantillon.
Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ?

Le tirage d'un échantillon de 8 pièces avec remise correspond à une succession de 8 tirages indépendants d'une pièce.
Chaque tirage d'une pièce est une "épreuve".

X

correspond au nombre de pièces acceptables. On appelle donc "succès" le fait qu'une pièce soit acceptable.

La probabilité de succès est donc à chaque épreuve.

$X$ est alors le nombre de succès au cours de 8 épreuves indépendantes.
Donc $X$ suit la loi binomiale $ℬ$ (8 ; ).

Exercice

Si

X

suit la loi binomiale

ℬ

(n; p)

, alors :

les valeurs possibles de $X$ sont les entiers compris entre 0 et $n$
pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$ , on a : $p (X = k) = (\binom{n}{k}) \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k}$

ou (autre notation) :

p (X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times {(1 - p)}^{n - k}

Exemple :

Status: 550 WIMS Module Error Server: WIMS 4.27a (WWW Interactive Multipurpose Server) Content-type: text/plain; charset=windows-1252 ERROR. wims has detected an error in the module 'U1/proba/docloibinom.fr'. In file 'doc/1/exp2.def', line 59: too_many_gotos. Le nombre de goto (ou de boucles `for' executées) a dépassé la limite. Si vous voyez ce message, c'est en général à cause d'un bug dans le module `U1/proba/docloibinom.fr'. Veuillez contacter le développeur du module pour le bug.

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Utilisations de la loi binomiale

Calcul d'une probabilité