Les nombres relatifs
Guide
La droite
Egyptologie et chronologie
Pour les dates avant J.-C, on peut écrire simplement
"-200" au lieu de "200 avant J.-C." , "-52" au
lieu de "52 avant J.-C.".
Indiquer sur cette droite graduée la place des événements suivants :
- [T] : Règne de Toutânkhamon, vers -1350 ;
- [K] : Construction de la pyramide de Khéops, vers -2600 ;
- [C] : Mort de Cléopâtre, en -30 ;
- [R] : Règne de Ramsès II, vers -1250 ;
- [S] : Début du culte d'Osiris, vers -2100 ;
- [A] : Alexandre le Grand envahit l'Egypte, vers -350.
Solution
Pour s'exercer
La date -350 est antérieure à -200. On écrit alors : -350 < -200.
En utilisant la droite graduée, ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants :
-1350 -2600 -30 -1250 -2100 -350
-2600 -2100 -1350 -1250 -350 -30
Pour s'exercer
Lire l'abscisse d'un point donné
Définition : Droite graduée ou axe gradué
Un axe gradué est une droite munie : d'une origine, d'une
unité et d'un sens.
On repère chaque point sur l'axe par son
abscisse :
l'abscisse de
est
, ce qu'on note
.
Pour pouvoir repérer les points situés à gauche de
, on utilise de nouveaux nombres
appelés nombres négatifs.
Les nombres à droite de
sont des nombres positifs.
L'abscisse de
est
.
Lire l'abscisse de points
Ranger par ordre croissant des nombres relatifs
Un nombre négatif est un nombre inférieur
ou égal à 0.
Comparer des nombres
Ranger des nombres par ordre croissant ou décroissant.
Placer un point, distance
Placer un point dont on connaît l'abscisse
Déterminer la distance de deux points dont on connaît l'abscisse.
Que peut-on dire des distances
et
?
On retient la règle suivante :
La distance
est égale à la plus grande
abscisse moins la plus petite abscisse.
Ainsi, la distance entre
et
est égale à 6.
Distance et position par rapport à l'origine
On donne le point
qui a pour abscisse 3, à quelle distance est-il du
point
?
est à la distance 3 de
Est-il à droite ou à gauche du point
?
est à droite de
On donne le point
qui a pour abscisse -3, à quelle distance est-il
du point
?
est à la distance 3 de
Est-il à droite ou à gauche du point
?
est à gauche de
Les nombres 3 et -3 sont dits opposés, ils ne diffèrent que par leur signe.
On retient la règle suivante :
Deux nombres qui ne diffèrent que par leur signe
sont dits opposés.
Que peut-on dire de deux points qui ont des abscisses opposées ?
S'exercer :
Position par rapport à l'origine
Position par rapport à un autre point
Repérage des points d'une droite, faisons le point
- Droite graduée :
Pour repérer les points d'une droite, on choisit :
- une origine,
- un sens,
- une unité de longueur.
- Abscisse d'un point :
Chaque point d'une droite graduée est repéré par un
nombre relatif appelé
abscisse de ce point.
L'origine a pour abscisse 0.
- Relatif à :
Quand on connaît l'abscisse d'un point, on connaît alors la distance de ce point
au point
(qui a pour abscisse 0) et sa
position relativement au point
.
Placer un point dont on connaît l'abscisse
Le plan
Lire les coordonnées d'un point donné
Dans le plan muni d'un repère,
lire les coordonnées d'un point.
Exercice :
Chemin dans le plan
Placer un point dont on connaît les coordonnées
Dans le plan muni d'un repère,
placer des points.
Repérage d'un point dans le plan muni d'un repère
-
Définition : Repère du plan
Deux droites graduées, perpendiculaires et de même origine
constituent un repère du plan.
-
Définition : Coordonnées, abscisses, ordonnées
On peut indiquer la position d'un point du plan à l'aide de deux nombres
appelés coordonnées de ce point.
- Le premier nombre, qui sert au repérage horizontal, est appelé abscisse ;
- le deuxième nombre, qui sert au repérage vertical, est appelé ordonnée.
-
L'axe horizontal est appelé axe des abscisses ,
l'axe vertical est appelé axe des ordonnées.
Addition de deux nombres relatifs
On détermine d'abord le signe du résultat, puis sa partie sans signe
comme le montrent les exemples qui suivent :
Définition (nombres opposés) :
L'opposé de (+a) est (-a) ; l'opposé de (-a) est (+a).
Théorème (somme de nombres opposés) :
La somme de deux nombres opposés est égale à zéro. Par exemple :
Propriétés de l'addition
- Si on change l'ordre des termes d'une somme, le résultat ne
change pas (on dit que l'addition est commutative).
Exemple
- Si on regroupe des termes d'une somme, le résultat ne
change pas (on dit que l'addition est associative).
Exemple
Exercice sur les règles
Soustraction de deux nombres relatifs
Définition de la soustraction :
et
sont deux nombres relatifs. La différence
est le
nombre qu'il faut ajouter à
pour obtenir
.
Théorème (Soustraction de deux nombres relatifs) :
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter l'opposé de ce nombre.
Autrement dit,
et
étant deux nombres relatifs, on a
opposé (
)
On "transforme" la soustraction en une addition. On est donc
ramené aux techniques de calculs de
l'addition.
Sur l'écriture simplifiée :
Avec l'habitude on passe directement de la première à la
troisième ligne de chaque calcul.