Université de Picardie Jules Verne/Jacques Beauchamp

NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES

1 NOTION DE FLUIDE

L'eau liquide est un fluide, substance déformable sans forme propre, qui change de forme sous l'action d'une force externe qui lui est appliquée. Sa forme est conservée seulement si un corps solide les limite. Les liquides sont généralement considérés comme non compressibles (c'est le cas de l'eau); ils conservent le même volume quelque soit leur forme: ils présentent une surface propre. Les gaz tendent à occuper tout l'espace disponible: ils n'ont pas de surface propre; ils sont compressibles.

2. PROPRIETES PHYSIQUES

a) Densité

C'est la mesure de la masse présente dans une certaine quantité de fluide. Elle correspond aux nombre de molécules contenues dans le volume. On confond densité et masse volumique r. Si la température augmente, les molécules du fluide s'écartent et la densité diminue. Si la température baisse, c'est l'inverse. L'eau a un comportement exceptionnel: sa densité est maximale à 4°C (par suite de changement dans la disposition cristalline des molécules).

Tableau 1: densité/viscosité de quelques corps(d'après P. FRIEND, 1979)

b) Viscosité

Mesure de la résistance d'un fluide au changement de forme: la viscosité détermine la vitesse de mouvement du fluide (par exemple, la vitesse de déplacement d'une cuillère dans un bol: plus le liquide est visqueux, plus le mouvement est lent). L'addition d'une faible quantité de substance en suspension ou en solution peut augmenter grandement la viscosité du liquide. La viscosité moléculaire est désigné par µ; elle est exprimée en N.s.m-2. Les liquides ont une viscosité supérieure à celle des gaz: les molécules sont plus rapproc gaz: les molécules sont plus rapprochées, des liaisons s'établissent entre elles qui augmentent la cohésion de l'ensemble. La viscosité varie en sens inverse de la température. La viscosité cinématique n est égale au rapport de la viscosité moléculaire du fluide sur sa densité.

Pour un fluide s'écoulant sur une paroi fixe, la viscosité détermine le gradient de vitesse existant dans ce fluide depuis la paroi
 
 

u : vitesse
µ : profondeur de l'écoulement
du/dy: gradient de vitesse
T :contrainte tangentielle

figure 5-1: gradient de vitesse dans un écoulement

Pour une même contrainte, le gradient de vitesse varie en fonction inverse de la viscosité fluide à viscosité faible: grand gradient forte: faible gradient

* Fluide newtonien

Si un fluide, à température constante, a une viscosité qui reste constante quelque soit la vaature constante, a une viscosité qui reste constante quelque soit la valeur de la contrainte appliquée, on dit que ce fluide est newtonien (exemple eau: quand on tourne une cuillère dans un bol, la résistance à l'avancement ne change pas si on change la vitesse de rotation).

* Fluide non newtonien

La viscosité varie selon la contrainte appliquée. Par exemple, on remue du yogourt dans un pot: il devient moins visqueux si on le bat rapidement (il se fluidifie). Une boue saturée d'eau diminue de viscosité si elle reçoit une secousse: c'est le cas des glissement de terrain déclenchés par les séismes. Les forces de liaison entre les particules sont modifiées; ce phénomène de thixiotropie explique le phénomène des sables mouvants.

figure 5- 2: relation contrainte/déformation dans un fluide newtonien

figure 5 3: relation contrainte/déformation dans un fluide non newtonien

Les fluides non newtoniens ont généralement une forte masse moléculaire, les molécules sont liées les unes aux autres. Si ces liaisons sont brisées, la viscosité diminue et la déformation, ou le mouvement, est facilitée. Si un fluide coule, ou se défte;e. Si un fluide coule, ou se déforme, à partir d'un certain seuil de contrainte et garde ensuite sa viscosité, on parle de comportement plastique.

3. ECOULEMENT DES FLUIDES

a) Lignes de courant et vitesse d'écoulement

* Lignes de courant

Ce sont des lignes imaginaires tracées dans un fluide dont les tangentes à tous les points sont parallèles à la direction de l'écoulement. Les lignes de courant sont généralement courbes mais ne se croisent jamais (sinon il y aurait deux directions différentes d'écoulement au point d'intersection).

* Vitesse d'écoulement

vitesse instantanée: u = dx/dt

vitesse moyenne : V

Dans un chenal, relation empirique de Chezy:
 

 

C : coefficient de friction de Chezy
h : profondeur
S : pente

b) Ecoulement laminaire et turbulent

* Ecoulement laminaire

Tous les vecteurs vitesse sont parallèle à un instant t. Si tous les vecteurs vitesse sont à la fois parallèles et égaux, l'écoulement laminaire est uniforme.

* Ecougrave;les et égaux, l'écoulement laminaire est uniforme.

* Ecoulement turbulent Les vecteurs des vitesses instantanées sont inégaux (différents en direction, sens, intensité). Des tourbillons se forment. La viscosité du fluide augmente: à la viscosité moléculaire µ s'ajoute une viscosité de turbulence n.

figure5-4: écoulement laminaire                                            figure 5-5: écoulement turbulent

c) Frottement, pression et bilan énergétique

Pour formuler mathématiquement l'écoulement d'un fluide, on utilise la notion de fluide parfait, c'est à dire qui ne présente pas de résistance à l'écoulement (sa viscosité est nulle). Un fluide réel présente le phénomène de frottement sur les parois (effet de paroi) qui diminue la pression selon le sens de l'écoulement. Pour étudier l'écoulement d'un fluide réel, il faut introduire un coefficient de frottement introduire un coefficient de frottement sur la paroi (coefficient de friction dans la formule de Chezy).
 
 

figure 5-6: diminution de pression le long d'un écoulement

Le frottement sur la paroi explique le gradient de vitesse observé dans le fluide.
 
 

figure 5-7: gradient de vitesse depuis la paroi

Pour un fluide parfait coulant dans un tube étroit, le bilan énergétique est constant en tout point: c'est la loi de Bernoulli qui peut être exprimée ainsi:
 
 

Le principe de conservation de l'énergie explique que la vitesse augmente quand la section du canal diminue
 
 

figure 5-8: relation entre la vitesse et la section de l'écoulement: S1.U1 = S2.U2

d) Nombre de Reynolds

Expérience de Reynolds: un fluide coule dans un tube. On augmente progressivement la vitese du fluide. On évalue sa vitesse par la différence de pression mesurée entre deux points.
 
 

figure5-9: expérience de Reynolds

L'écoulement est d'abord laminaire. A partir d'une certaine valeur de la vitesse, il devient turbulent. Pour des tubes de diamètre variable et des fluides de viscosité et densité différent, il existe une relation qui prévoit le passage de l'écoulement laminaire à l'écoulement turbulent:
 

d: diamètre du tube µ
u: vitesse de l'écoulement
r: densité du fluide µ: viscosité

Re est le nombre de Reynolds; le passage de l'écoulement lamminaire à l'écoulement turbulent se fait pour une valeur de Re comprise entre 500 et 2000.

On voit que pour un fluide visqueux (µ grand), le nombre de Reynolds re>On voit que pour un fluide visqueux (µ grand), le nombre de Reynolds reste petit et l'écoulement reste laminaire pour des vitesses moyennes. Pour un fluide peu visqueux comme l'air, le nombre de Reynolds est trés vite important et l'écoulement devient turbulent même à des vitesses faibles. Le nombre de Reynolds est appliqué à un écoulement dans un tube; il peut être utilisé pour un courant dans un chenal en prenant la profondeur de l'écoulement comme valeur de d. e) Couche limite en écoulement laminaire

Soit un fluide s'écoulant à la vitesse u au dessus d'une plaque immobile. Au contact de la plaque, il existe une zone où la vitesse croit de 0 à u. La zone correspondant au gradient de vitesse de 0 à 99% u constitue la couche limite laminaire. Au dessus la vitesse est égale à u, l'écoulement est libre.

Figure 5-10: couche limite laminaire

Figure 5-11: écoulement laminaire dans un chenal (vue cartographique)

Le même phénomène se produit pour un écoulement dans un chenal: la vitesse est nulle au contact de la berge; elle croît pour atteindre une valeur maximale dans l'axe du chenal (u max), supérians l'axe du chenal (u max), supérieure à la vitesse moyenne u.

f) Ecoulement turbulent

Il est difficile à étudier: c'est le problème posé par les étude d'hydro- ou aérodynamisme. Les turbulences modifient les vitesses instantanées et augmentent la viscosité (viscosité de turbulence); ils agissent à l'encontre de la vitesse moyenne et entraînent une perte d'énergie que l'on peut mettre en évidence par l'expérience de Reynolds.

Le long de la paroi du tube se forme une sous-couche visqueuse où la vitesse augmente de façon linéaire depuis la paroi. Au delà la vitesse augmente en fonction du logarithme de la hauteur. L'épaisseur de cette sous-couche diminue quand la vitesse u augmente ou la viscosité µ diminue. L'épaisseur de cette sous-couche est importante pour l'état de surface de la paroi.
 
 

Figure 5-12: état de surface d'une paroi

Dans l'eau, la surface est rugueuse si les grains sont > 0,6 mm. La valeur est plus faible pour l'air.

g) Puissance d'un courant

La puisssance d'un courant est la capacité de fournir un travail produisant l'érosion et le transport.
 
 

u: vitesse moyenne (déterminée par la relation de Chezy)
T: force (contrainte tangentielle) exercée sur une unité de surface du fond.

Pour un écoulement gravitaire (produit par l'action de la pesanteur uniquement) la valeur de t dépend de la pente et de la profondeur h de l'écoulement:
 
 
 

d: densité du fluide
g: pesanteur
h: profondeur de l'écoulement
a: pente de l'écoulement.

La puissance du courant d'un cours d'eau varie de 1 à 100 watts par m2 de fond; elle dépend de la pente, de la densité et de la friction sur le fond.

Figure 5-13: puissance du courant en fonction de la profondeur et de la pente
 

Jacques.beauchamp@sc.u-picardie.fr

révision:15 septembre 2001